谈谈“函数”

杨婉玲

摘 要 “函数”是中学数学中最基本、最重要的概念。由于函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻画，决定了它是对学生进行素质教育的极好材料。函数所包含的内容十分广泛，它的概念和思维方法渗透在数学的各个部分。

关键词 中学数学 “函数”

中图分类号：G642.41 文献标识码：A

首先，让我们来认识一下“函数”。函数概念的形成在历史上大体分三个阶段。

第一阶段把函数定义为“解析表达式”。由于17、18世纪工程技术和天体力学研究的需要，引进了变量，研究变量必然涉及到变量与变量之间的关系，于是函数的概念就逐渐形成了。1784年欧拉在《无穷小分析引论》中把单变量的函数定义为“由该变量与数字一起以任意方式构成一种解析表达式”。

第二阶段把函数定义为变量之间的单值对应。随着函数研究的发展和函数广泛的应用，只停留在把函数理解为解析表达式显然不够全面。例如，由列表法、图象法，所表示的函数关系就不包含在上述定义中，于是产生了把函数定义为“变量之间的单值对应”，柯西给出的定义是“对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，那么y叫做x的函数”现阶段初中数学的函数概念就接近这个定义。这样，函数可以用解析式表示，这样就把函数概念又一次扩充了。

在集合与对应概念的基础上，把函数定义为一种特殊的对应。并用y=f（x）表示是函数概念的一次深化，它为函数概念的第三个阶段作了准备。由于中学研究的函数主要是数值函数，而且又以连续函数为主，所以高中阶段的函数仅限于以集合与对应的概念来解释数值函数的概念。

了解了函数的形成历史，在此基础上，对函数的教学才能有的放矢。不难发现，在中学阶段，我们对函数的学习是循序渐进的。在中学数学教材中，函数的教学大致可分为三个阶段。

第一阶段是在初中代数课程中初步探讨了函数的概念。其中初一（上）“字母表示数”一章，旨在让学生体会字母表示数的必要性，从而引入代数式。实质上这里已经渗透了初步的函数思想。初一（下）“变量之间的关系”一章，通过大量贴近学生生活的实例，让學生体会变量之间相互关系的普遍性，并通过列表、解析式、图象几种方式呈现变量之间的关系。同时也暗示函数的三种表示方式。初二（下）则明确变量之间的这种关系就是函数，并研究较为简单、应用最为广泛的一次函数，而其后进一步研究反比例函数和二次函数。

第二个阶段旧教材安排在第一册第二章函数及第四章三角函数。新教材必修1第二章安排了：函数概念与基本初等函数。必修4第一章安排了：三角函数。第二阶段实际是对函数概念的再认识阶段，即用集合与对应的观点理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数，（新教材又增加了幂函数）以及后面的三角函数等基本初等函数，从而使学生在第二阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养了函数的应用意识，为今后学习打下了良好的基础。

在旧教材中，函数概念的产生是在映射、一一映射等概念之后。使用的是由一般到特殊的演绎法。但新教材对函数教学的安排有所改变。它在初中的函数基础上，运用集合与对应的观点解释了函数的概念。在函数概念给出后再给出映射的概念。而且学习中对映射的要求也淡化了，一一映射的概念干脆没有给。原来的函数部分对映射、一一映射这些抽象的概念要求太高，而这些对高中学生来讲较难接受，通过这次调整，使这种抽象的概念加以淡化，而且只要求学生从直观上了解映射的概念。这样做学生在理解函数的概念上更加直观、更加明确。而且从学习效果上来看，明显的学生对函数概念的理解上更加到位、更加深刻。

三角函数方面新教材也作了调整，旧教材三角函数方面的内容共3章23节70多课时，而新教材安排了必修4第一章10节约16课时，第三章5节约8课时。从内容上看，新教材是原教材的缩减，如原教材中的反三角函数和简单三角方程，缩减为新教材中的链接内容。只利用几个例题简单明了地给出了反三角函数的定义，三角方程剔除了。这样做很大程度地减轻了学生的学习负担，学生在知识层面上更容易接受。

导数作为选修课进入高中新课程后，为研究函数提供了更有力的工具和更广阔的空间。诸如曲线的切线、函数图象的形态、函数的单调性、函数的极值与最值问题等，都得到了有效而彻底的解决。对函数的考察重点也将随之向用导数方法研究函数问题转移。其中原课程对函数单调性的研究仅局限于用定义考察某些简单函数的单调性，而应用导数研究函数单调性的方法更具一般性。函数的最值是函数的重要内容之一，也是解决实际应用问题的重要题材，导数方法提供了解决一元函数最值问题的通则通法，把函数最值的应用拓展到更广泛的领域。所以，应用导数研究函数性质成为新课程命题的热点。从近几年的高考试题中不难发现这一点。

总之，函数概念是中学数学的一条主动脉。我们只有不断地认真研究新大纲和新教材，把新课程改革实验扎实地贯彻于课堂教学中。深入地认识函数，并不断地对函数进行学习和研究，才能让学生更好地学习和运用函数的知识来解决相关的问题。这是我们每一个中学教师应该认真做到的。

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