沟通数学表征和本质联系，促进数学核心素养发展

李辉

摘 要 鸡兔同笼的教学设计普遍存在以下问题：没有实现表征的贯通；没有凸显插值法的数学本质。为了解决以上问题，笔者提出了以下解决方案，即理解假设法这一模式，而不在练习，核心思想的就是建立直观表征和算式表征的贯通，培养学生数学建模意识，更好理解数学本质。

关键词 鸡兔同笼 表征贯通 数学本质

1问题提出

《义务教育数学课程标准（2011 版）》第一次独立、明确地提出了“数学基本活动经验”，“鸡兔同笼”就是流传至今的数学名题，就具有这样典型的特点：综合性、实践性和趣味性。

人教版把这一教学内容安排在小学数学四年级的“数学广角”中，此时学生还没有接触过方程，所以只能用四则运算的方法来解决， 这种计算简单的方法往往需要付出逻辑思维的代价。“鸡兔同笼”问题解决的过程， 教材呈现了三个层次“ 猜測—列表枚举—列式解答”。 教学中，也是让学生经历这三个层次的过程：（1）大胆猜测，小心求证；（2）化繁为简，建立模型；（3）拓展应用，巩固模型。但在列表法和假设法的学生自主讨时，无论学生的总结还是教师的引导，学生难以从根本上沟通两者的联系，除了做题，我们还有什么收获？教师一下子把算式给了出来，学生还讨论什么呢？这样的课堂，学生又能够感悟出什么数学思想呢？

2常规教学存在的问题

案例1：鸡兔放在同一个笼子里，数头 8 个，数腿 26 条。有几只鸡？几只兔？

生1：我先画8个头，然后每个头添上两只脚代表是8只鸡，然后多余的脚每个两只加上去，发现只有16条腿，还差了10条腿。

师：为什么每个图上加两只？

生：因为兔子有四只脚，而鸡只有两只脚，所以每个要给它加上两只。就知道是5只兔子，3只鸡。如下图：

师：你们听明白了吗？

生：听明白了。

画图的实质是假设，只是比直接假设列式增加了比较直观的示意图。往往教师在学生画图尝试之后，就把列表的方法举例了，错失了画图和假设法的第一次横向沟通，学生也少了对假设这种方法的感悟。

在列表法中，基本都是常规的的逐一列举，好处是有利于学生的理解，对于“鸡增加一只，兔减少一只，腿减少两条”，或者“兔增加一只，鸡减少一只，腿增加两条”有规律上的发现，能够进行简单推理，培养了学生用列表法解决问题的策略。缺点是一一列举真的有必要吗？特别是找到符合条件的一组数之后的列举。

当过渡到列算式环节，学生没有很好沟通这三种方法之间的联系时，要么列不出算式，要么列出而不知道如何理解假设法的生成过程。

案例2：学生接着进行尝试探究，呈现出如下结果，师生进行讨论、交流。

师：表格你们能看懂吗？下面我请这位同学来解释一下

生：我是先有8只鸡，脚有16只，然后是有7只鸡1只兔子，有18只脚；有两只兔子6只鸡，有20只脚：有5只鸡，3只兔子，那时一共有22只脚；找到了鸡3只兔5只的时候，它们俩有26只脚

师：符合题目的条件，所以你确定鸡3只，兔5只，对吗？

生：对。

师：有没有理解？同学们来看这张表格，从中我们能看出怎样的规律？

生：减少一只鸡，增加一只兔，增加两只脚，

师：是的，减少一只鸡，增加一只兔，增加两只脚，那刚才我们使用列表的方法来解决这个问题。

通过表格的呈现，老师会让学生来讲评这种方法，学生通过表格得到了直观结果，在讨论的同时，发现鸡和兔的腿数变化规律，进而为下一步画图法的理解做好铺垫。

3教学建议

3.1列表法进行教学再优化

“鸡兔同笼”这个题材，不是为了解决鸡兔同笼问题的本身，而是要借助鸡兔同笼这个载体，让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——列表。

对列表法进行优化，更好的为后面的假设法服务，就要从源头探究，列表法的列举过程，实际就是假设的过程，在这一过程中，数据的呈现是否要一一列举出来呢？答案是否定的。

3.2凸显假设法的作用

《鸡兔同笼》的教学中，需要学生达到的目标是什么？这个授课老师必须要清楚，第一节课关键是理解鸡和兔的脚数变换的这个道理，理解假设法的模式，理解方法是重点，而不在练习。

实践表明，由画图导出推算，同时借助直观说明推算过程中每一步的意思，不同层次的学生都能理解，是讲解推算过程的一条捷径。“假设——修正假设——得到正确结论”的探究思路，深入浅出，能够真正沟通了画图、推算和列表的内在联系，学生能理解，能应用，效果明显。

参考文献

[1] 李小丽.《鸡兔同笼》教学设计[J].小学教学设计（数学），2015（02）.

[2] 熊斌.从“鸡兔同笼”的教学设计谈数学思想的渗透[J].教育科学，2016（07）.

[3] 张莉，罗燕，李昌勇.“鸡兔同笼”问题的研究综述[J].中国校外教育：下旬，2017（03）：53-54.

编辑整理：发展改革理论与实践杂志社官方网站