加涅学习结果分类理论对函数符号教学的启示

李伟东

摘 要 在教学中，每每与学生谈起函数时，学生们都感觉函数太抽象，太难了，问题主要有：看不懂、记不住和做不来等，本文旨在借加涅学习结果分类之理论，解函数符号教学实践之问题，以期改变学生对函数的看法，使其不再恐惧，更能获得五种学习结果。

关键词 函数符号 加涅学习结果 分类理论

中图分类号：G720 文献标识码：A

函数符号具有形式的简单性，内涵的精确性，应用上的可操作性以及使用上的统一性等特征，对学习者的抽象思维有较高的要求。而皮亚杰认为：人的形式运算（抽象思维）能力并不会突然获得，而是在身体成熟和环境经验的共同作用下慢慢获得，一般会在15岁左右进入形式运算阶段，并且一些证据表明，相当一部分人在很晚的年龄才学会形式运算能力，而有些人甚至一直都没有获得这种能力。因此重视对函数符号的解释和辨别，创设环境，提升学生的抽象思维能力，是学生学好函数，重获自信的关键。受加涅学习结果分类理论的启示，围绕5种学习结果进行教学设计，寻求破局。

1言语信息，取函数符号之意

言语信息是指通过言语传达信息的能力，即“知识”，“知道是什么”的能力。教学中，对函数符号的释义，宜做到简单易懂、深刻好记、能操作。

案例1：函数的定义符号。

函数定义符号表示定义域内任一个数，在对应关系下，都有唯一一个数（）（）与之对应。具备言语信息的学生，不单能简单对定义符号复述和记忆，更能从具体的环境中表述和运用出来， 如根据函数（）=，g（）=2获得（ 1）= 1，g（g（0））=2等。另外，=（）还可延伸出函数的三要素，的取值范围（定义域），是函数的对应关系，（）的取值范围（值域）。其中（）由与而定，为判断两函数是否相同做了铺垫。有了上面的认识基础，学生对抽象函数中出现的符号（）理解为所对的，理解为、x所对的平均值，便能抓住了符号的本质。

案例2：函数奇偶性、对称性及周期性符号。

在解释符号：'' ，（）= （2a ）、（）= （2a ）前，宜同化中点公式，找到学生的最新发展区。即不管如何变化，与2a 是关于=a对称的两个数，如果它们所对的相等，即函数关于=a对称，如果它们所对的相反，即函数关于（a，0）对称。若a=0，即前者为偶函数，后者为奇函数。

若'' ，（）= （+T），（T为常数），则=（）的周期为T。括号内，不管如何变化，（+T） 始终为常数T，它们对应的相等，通俗地说，“任意经过T个单位后，回来”。变形符号有（）= （+T），（）=等，如果通过推导：由（）= （+T） （+T）= （+2T） （）=（+2T）得周期为2T，对部分学生来说，难于接受。换种说法，“任意经过了T个单位，它们所对的互为相反数或倒数，即只回到了半路”，所以该函数的周期为2T，更易于被接受。对称性符号与周期性符号的区别信息是：括号内的数，和为常数与差为常数。

案例3：函数图象的变换符号。

函数图象的变换符号比较多，学生容易混淆或不会操作，通过下面的信息，便于辨别的同时还能兼备操作方法。如=（）与=（盿） ，=（）与=（）盿（a>0），对比前后两个函数，对加减，即左加右减，对加减：即上加下减；=（）与=（a），=（）与=a（） （a>0），对乘a，看定伸缩，对乘a，看a定伸缩（a>0）。

2动作技能，得函数符号之形

动作技能是指将各动作组成连贯、精确的完整动作的能力，如绘制函数图象，制作几何模型等。

函数符号教学中动作技能的培养，主要体现在函数作图，教学中要培养学生三种作图技能：第一，在理解函数定义的基础上，利用描点法（从多点到关键点）作出具体函数的图象，同时能根据图象逆向理解相关定义。如图1，通过多个描点到提炼出三个关键点画出函數（）=2图象。如图2，能根据函数（）=的图象，理解函数的单调性定义，尤其是其中对任意性的描述，体验函数在（ ，0）∪（0，+）上并不单调递增。

第二，能根据函数符号的信息，画出草图，并根据草图逆向理解函数性质。如图3，理解函数的奇偶性和对称性，同时可以借用几何画板追踪点的踪迹，印证函数的对称性，如图4。

第三，能根据符号信息，对函数图象进行各种变换，如图5。

3智慧技能，索符号之果

智慧技能是指运用符号与环境相互作用的能力、运用概念和规则办事的能力，即“知道如何去做”的能力。习得函数=（）概念及其三要素的学生， 能辨别出函数的正例和反例，能对函数同属归类，如：

例1：下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（ ）

例2：下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）

（A）.=1，= （B）. = ，=

（C）.=，= （D）. =|x|，=（）2

同时，具有作图的意识，利用数形结合的思想解决问题。如：

例3：在=2，=log2，y=2，y=cos2这四个函数中，

当0<1<2<1时，使（）>恒成立的函数的个数是（ ）

（A）. 0 （B）. 1 （C）. 2 （ D）. 3

学生在理解符号（）和的基础上，通过图6，认识凹凸性，最终确定答案为B。

具备智慧技能的学生，不仅仅是对例题的模仿，更是抓住概念和规则的本质，灵活应用到不同的环境中去。如：

例4：函数（）=的定义域为 。

学生除了能顺利解决此问题，对其各种变形也应应对自如，如变换条件：

变式1：已知=（），则函数=（）的定义域为 。

变式2：已知=（）且g（）=（2）+（+1），则=g（）的定义域为 。

如变换问题：

变式3：函数（）=的单调区间为 。

变式4：若函數（）=，则不等式（2m）<（m+1）的解集为 。

如变换条件、问题：

变式5：若函数（）对任意的都有（+4）= （ ），（+6）=（ ），且当[0，2]时，（）=，则（2019）= .

变式6：若函数（）为奇函数，（ 1）为偶函数，且当x[ 2，0]时，（）= ，则函数=（） lg的零点个数是 。

4认知策略，授之以渔

认知策略是指指导自己注意、学习、记忆和思维的能力，控制自身内部技能的能力。经过循序渐进，获得以上三种技能后，学生们对函数符号的辨别和识记，对作图步骤和技能，对问题的思考和方向都有了初步的认知，教师可以引导学生归纳总结出学习函数的方法，构建知识，形成程序：定义、符号的理解→图象的作法→看图分析函数性质→利用知识解决问题，并迁移到具体函数的学习上。Thorndike练习律告诉我们，已形成的联结得到不断应用，联结便得以加强。当学生坚持用此种学法学完基本初等函数后，相信学生对函数的认知水平会不仅是上升一个阶层，更是获得一种学习函数的方法。

5态度，启动学习内驱

态度是指影响个体行为选择的心理状态，表现在对数学学科、对数学兴趣、对数学具体内容的态度。学生对函数符号不再陌生，自然就会消除了恐惧，不再觉得函数太抽象，知道符号表达的是什么，并尝试利用图象将其形象化，应用智慧技能试着解决问题。从陌生到熟悉，从抽象到形象，从无到有，过程中，学生收获了知识，体验了成功，对函数的看法有了改变，使刺激与反应间联结形成的同时，伴与愉快的情绪体验，学习效果便得以加强，使得“要我学”向“我要学”成为可能。

总之，加涅学习结果分类理论对函数符号教学设计具有很强的指导意义，围绕5种结果进行教学操作，学生更易于理解、辨别、识记和应用符号，同时使得目标更加明确，评价教学或学生学习效果可操作性更强。

参考文献

[1] 何小亚，姚静.中学数学教学设计[M].科学出版社，2008.

[2] 王宽明.中学数学符号释义及其教学[J].韩山师范学院学报，2010.

[3] 罗伯特·费尔德曼.发展心理学——人的毕生发展[M].苏彦捷，邹丹等译.世界图书出版公司北京公司，2013.

[4] 蔡小雄.更高更妙的高中数学一题多解与一题多变[M].浙江大学出版社，2016.

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